ASIMOV BIOFISICA PARA EL CBC, Parte 1


Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ASIMOV BIOFISICA PARA EL CBC, Parte 1"

Transcripción

1 ASIMOV BIOFISICA PARA EL CBC, Parte 1

2

3 LBIO-1 BIOFISICA Para el CBC - PARTE 1 - * CINEMATICA, DINAMICA, TRABAJO Y ENERGIA * HIDROSTATICA, HIDRODINAMICA, VISCOSIDAD * DIFUSION, OSMOSIS, HUMEDAD RELATIVA

4 Biofísica para el CBC, Parte 1 - da. edición. Buenos Aires: Editorial Asimov, p.; 1 x 7 cm. ISBN: Biofísica para el CBC, Parte 1 - a ed. - Buenos Aires : Asimov, 010 v. 1, 30 p. ; 1 x 7 cm. ISBN Biofísica-Ejercicios. I. Título CDD Fecha de catalogación: /03/ Editorial Asimov Derechos exclusivos Editorial asociada a Cámara del Libro da edición. Tirada: 100 ejemplares. Se terminó de imprimir en agosto de 010 HECHO EL DEPÓSITO QUE ESTABLECE LA LEY Prohibida su reproducción total o parcial IMPRESO EN ARGENTINA

5 LBIO-1 OTROS APUNTES ASIMOV * EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA Es un apunte que tiene todos los ejercicios de la guía resueltos y explicados. * PARCIALES Y FINALES RESUELTOS Son parciales y finales que fueron tomados el año pasado. Hay también de años anteriores. Todos los ejercicios están resueltos. * PREGUNTAS DE LAS FACULTADES Es una recopilación de las preguntas de las facultades tomadas en los últimos parciales. La pregunta de la facultad puede llegar a darte un valioso puntito en el parcial. OTROS LIBROS: * QUÍMICA PARA EL CBC * MATEMATICA PARA EL CBC Tienen lo que se da en clase pero hablado en castellano.

6 Ves algo en este libro que no está bien? Encontraste algún error? Hay algo mal explicado? Hay algo que te parece que habría que cambiar? Mandame un mail y lo corrijo. RESUMEN DE FORMULAS AL FINAL

7 BIOFISICA PARA EL CBC Hola, va acá la teoría correspondiente a los temas que entran para el primer parcial. Si mirás un poco este libraco vas a ver que es verdad lo que te dijeron: La materia biofísica es larga, pesada y llena de fórmulas. Qué se puede hacer entonces? Rta: Y bueno, nada, hay que estudiar. Te sugiero que para aprobar esta materia sigas este procedimiento: Primero : Leé este libro. Segundo : Mientras lo vas leyendo, andá haciendo tu resumen de fórmulas. Tercero : Hacé los problemas que están en la guía. Cuarto : Ponete a resolver examenes viejos. Resolver temas de parciales viejos es fundamental. Recién al resolver problemas que fueron tomados, te vas a dar cuenta si entendés el asunto o no. Recordá que ellos suelen dejar que lleves al parcial una hoja con todas las fórmulas. Hacete un buen resumen. No copies el resumen de otro. No sirve usar el resumen de otra persona. Conviene que hagas tu resumen vos para vos. Al hacerlo, ya estás estudiando. Vamos a unas cosas importantes: * Este libro tiene derecho de autor, o sea que en principio no se puede fotocopiar. Pero yo te dejo que lo fotocopies si lo necesitás para estudiar. Pero atenti, no te dejo que lo fotocopies si tu idea es vender libros a 3 por 5.

8 * Este NO ES el libro oficial de la cátedra de biofísica. Este es un libro que escribí yo a mi manera. Básicamente es un resumen de mis clases. * Este libro no tiene autor. O sea, tiene autor, el autor soy yo. Pero por cuestiones que no vienen al caso, prefiero estar de anónimo. * Con el tiempo, hay temas que se fueron sacando de la materia biofísica. Ejemplo: Movimiento armónico, Estática, peso y empuje, Ley de Henry, cuba electrolítica óptica, ondas y demás. Esos temas ya no van. Te aviso esto porque puede ser que veas estos temas en parciales viejos. * Estudiá. No te atrases. Vos sabés que en biofísica CADA PUNTO CUENTA. No es lo mismo tener un 3 (tres) en el 1 er parcial que tener un 4 (cuatro). * Por favor recordá que saber biofísica es SABER RESOLVER EJERCICIOS. Querés leer teoría? Está perfecto, pero no te olvides que a vos te van a tomar problemas. Agarrá la guía de TP y hacete todos los ejercicios. Y no sólo eso. Conseguite parciales y finales viejos y resolvelos todos. Esta materia se aprende haciendo ejercicios. * Hay algunos apuntes que saqué que te pueden ayudar bastante. Tenés parciales resueltos. Tenés una guía adicional de problemas sacados de parciales con respuesta. También tenés un apunte con las preguntas de las facultades. * En este libro tenés ejemplos y ejercicios para practicar. Tenés parciales y finales viejos para bajar de página de Asimov: En la página tenés links a la UBA y a la página oficial de la cátedra de biofísica del CBC. Ahí están los horarios de las clases de consultas, fechas de exámenes, notas de parciales y demás. De la página de Asimov también podés bajarte el certificado analítico con las notas del CBC. Por cualquier consulta o sugerencia entrá a la página y mandame un mail. Y sino vení a verme directamente a mi. Los chicos saben donde encontrarme. SUERTE EN EL EXAMEN!

9 Indice Unidad 1 Página Cinemática 1 Dinámica 51 Trabajo y Energía 73 Unidad 1 ra parte Hidrostática 109 Hidrodinámica 17 Viscosidad 149 Unidad da parte Gases - Soluciones 161 Difusión 169 Osmosis 179 Humedad relativa 189 RESUMEN DE FÓRMULAS: Pag 03

10

11 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME ECUACIONES HORARIAS ASI SE CALCULA LA VELOCIDAD EN EL MRU GRÁFICOS PARA EL MRU

12 ASIMOV - - MOV. RECT. Y UNIFORME CINEMÁTICA CONCEPTOS DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN En cinemática hay tres cosas que tenés que conocer porque se usan todo el tiempo. Fijate : El lugar en donde está la cosa que se está moviendo se llama Posición. La rapidez que tiene lo que se está moviendo se llama velocidad. Si la velocidad del objeto aumenta o disminuye, se dice que tiene aceleración. Ejemplo: X POSICION Y VELOCIDAD X auto = 10 m Para la posición se usa la letra x porque las posiciones se marcan sobre el eje x. Si el objeto está a una determinada altura del piso se usa un eje vertical y ( y la altura se indica con la letra y ). EJEMPLO: Supongamos que tengo algo a 5 metros de altura. Para dar su posición tomo un eje vertical Y. Con respecto a este eje digo: LA POSICION DEL PATO ES Y = 5 metros. X e Y se llaman coordenadas del cuerpo. Dar las coordenadas de una cosa es una manera de decir dónde está el objeto en ese momento. ( Por ejemplo, un avión ). SISTEMA DE REFERENCIA Cuando digo que la posición de algo es x = 10 m, tengo que decir 10 m medidos desde dónde. Vos podés estar a 10 m de tu casa pero a 100 m de la casa de tu primo.

13 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME De manera que la frase: estoy a 10 m no indica nada. Hay que aclarar desde dónde uno mide esos 10 m. Entonces en física, lo que ellos hacen es decir: En el lugar que elijo como cero pongo el par de ejes x-y. Estos dos ejes forman el sistema de referencia. Todas las distancias que se miden están referidas a él. Para resolver los problemas siempre hay que tomar un par de ejes x-y. Poner el par de ejes x-y nunca está de más. Si no lo ponés, no sabés desde dónde se miden las distancias. Las ecuaciones que uno plantea después para resolver el problema, van a estar referidas al par de ejes x-y que uno eligió. TRAYECTORIA ( Fácil ) La trayectoria es el caminito que recorre el cuerpo mientras se mueve. Puede haber muchos tipos de trayectorias. Acá en MRU es siempre rectilínea. La trayectoria no tiene por qué ser algún tipo de curva especial. Puede tener cualquier forma. Ejemplo: POSICIÓNES NEGATIVAS ( Ojo ) Una cosa puede tener una posición negativa como x = - 3 m, ó x = - 00 Km. Eso pasa cuando la cosa está del lado negativo del eje de las equis. Esto es importante, porque a

14 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME veces al resolver un problema el resultado da negativo. Y ahí uno suele decir: Huy, me dió X = - 0 m. No puede ser. Pero puede ser. La posición puede dar negativa. Incluso la velocidad y la aceleración también pueden dar negativas. Mirá en este dibujito como se representa una posición negativa : VELOCIDAD NEGATIVA ( leer ) Si una cosa se mueve en el mismo sentido que el eje de las x, su velocidad es ( + ). Si va al revés, es ( -).Atento con esto que no es del todo fácil de entender. A ver: Es decir, en la vida diaria uno no usa posiciones ni velocidades negativas. Nadie dice: estoy a 3 m de la puerta. Dice: estoy 3 m detrás de la puerta. Tampoco se usa decir: ese coche va a 0 km/h. Uno dice: ese coche va a 0 Km por hora al revés de cómo voy yo. Pero atento porque acá en cinemática la cuestión de posiciones negativas y velocidades negativas se usa todo el tiempo y hay que saberlo bien. LA LETRA GRIEGA DELTA ( ) Vas a ver que todo el tiempo ellos usan la letra Delta. Es un triangulito así:. En física se usa la delta para indicar que a lo final hay que restarle lo inicial. Por ejemplo, x querrá decir equis final menos equis inicial. t querrá decir t final menos t inicial, y así siguiendo. En matemática a este asunto de hacer la resta de cosas se lo llama hallar la variación o diferencia. ESPACIO RECORRIDO ( X ) El lugar donde el tipo está se llama posición. La distancia que el tipo recorre al ir de

15 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME una posición a otra se llama espacio recorrido. Fijate que posición y espacio recorrido NO son la misma cosa. Pongámonos de acuerdo. Vamos a llamar: X 0 = posición inicial ( lugar de donde el tipo salió ) X f = posición final ( lugar a donde el tipo llegó ) X = espacio recorrido. ( = X f X o ) Si el móvil salió de una posición inicial ( por ejemplo X 0 = 4 m ) y llegó a una posición final ( por ejemplo X f = 10 m ), el espacio recorrido se calcula haciendo esta cuenta: x = x f - x 0 ESPACIO RECORRIDO Es decir, en este caso me queda: X = 10 m 4 m ==> X = 6 m. TIEMPO TRANSCURRIDO o INTERVALO DE TIEMPO ( t ) El intervalo de tiempo t es el tiempo que el tipo estuvo moviéndose. Delta t puede ser 1 segundo, 10 segundos, 1 hora, lo que sea... Si el objeto salió en un instante inicial t 0 ( por Ej. a las 16 hs ), y llegó en un determinado instante final ( por Ej. a las 18 hs), el intervalo de tiempo delta t se calcula haciendo la cuenta t = t f t 0, ( Es decir 18 hs 16 hs = hs ). MOVIMIENTO RECTILÍNEO y UNIFORME ( MRU ) Una cosa se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme si se mueve en línea recta y va con velocidad constante. Otra manera de decir lo mismo es decir que el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales. Esto lo dijo Galileo ( ídolo! ).

16 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME En el MRU la velocidad no cambia, se mantiene constante. Al ser la velocidad todo el tiempo la misma, digo que lo que se viene moviendo no acelera. Es decir, en el movimiento rectilíneo y uniforme la aceleración es cero ( a = 0 ). EJEMPLO DE CÓMO SE CONSTRUYEN GRÁFICOS EN EL MRU ( Leer esto ) Muchas veces piden hacer gráficos. Cómo es eso? Fijate. Suponé que una cosa se viene moviendo a 100 por hora. Una hormiga, por ejemplo. Después de una hora habrá recorrido 100 Km. Después de hs habrá recorrido 00 Km y así siguiendo... Esto se puede escribir en una tablita: POSICIÓN TIEMPO 0 Km 0 hs 100 Km 1 h 00 Km hs Ahora puedo hacer un gráfico poniendo para cada tiempo la posición correspondiente ( A 0 le corresponde 0, a 1 le corresponde 100, etc ).

17 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME Uniendo todos los puntos tengo el gráfico de la posición en función del tiempo: A este gráfico se lo suele llamar abreviadamente X (t), X = f (t), o X = X (t). Todas estas denominaciones quieren decir lo mismo: Representación de la posición X en función del tiempo. Puedo dibujar también los gráficos de velocidad y aceleración en función del tiempo. ( Importantes ). Si lo pensás un poco vas a ver que quedan así: En estos 3 gráficos se ven perfectamente las características del MRU. O sea : El gráfico de x en función del tiempo muestra que la posición es lineal con el tiempo. ( Lineal con el tiempo significa directamente proporcional ). El gráfico de V en función de t muestra que la velocidad se mantiene constante. El gráfico de a en función de t muestra que la aceleración es todo el tiempo cero. CÁLCULO DE LA VELOCIDAD EN EL MRU Para calcular la velocidad se hace la cuenta espacio recorrido sobre tiempo empleado. Esta misma cuenta es la que vos usás en la vida diaria. Supongamos que un tipo salió de la posición x 0 y llegó a la posición x f.

18 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME La velocidad va a ser: x v = t x-x v = t-t f 0 f 0 ASI SE CALCULA LA VELOCIDAD EN EL MRU Por ejemplo, si una persona viaja de Buenos Aires a Mar del Plata ( 400 km ) en 5 horas, su velocidad será: Si el tipo salió inicialmente del kilómetro 340 ( X 0 ) y llega al km 380 ( X f ) después de 30 minutos, su velocidad será : ECUACIONES HORARIAS EN EL MRU ( Importante ). x x 0 La definición de velocidad era: v =. Si ahora despejo x x o me queda : t t v. ( t t o ) = x x o 0 x = x o + v. ( t t o ) 1 ra ECUACION HORARIA Se la llama " horaria " porque en ella interviene el tiempo ( = la hora ). Como ( t - t 0 ) es t, a veces se la suele escribir como x = x 0 + v x t. Y también si t 0 cero vale cero, se la pone como x = x 0 + v x t. ( Importante ). Pregunta: Para qué sirve la ecuación horaria de la posición? Rta: Esta ecuación me va dando la posición del tipo en función del tiempo. O sea, yo le doy los valores de t y ella me da los valores de x. ( Atento ). Fijate : Suponete que lo que se está moviendo salió en t 0 = 0 de la posición x 0 = 00 Km. Si el objeto al salir tenía una velocidad de 100 Km/h, su ecuación horaria será: X = 00 Km X = 00 Km Km. h ( t 0 ) Km t h

19 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME Si en la ecuación voy dándole valores a t ( 1 h, hs, 3 hs, etc) voy a tener la posición donde se encontraba el tipo en ese momento. En realidad siempre hay 3 ecuaciones horarias. La velocidad y la aceleración también tienen sus ecuaciones horarias. Para el caso del MRU, las ecuaciones de v y de a son : v = cte y a = 0 En definitiva, las tres ecuaciones horarias para el MRU son: x = x o + v. ( t t o ) v = Cte a = 0 ECUACIONES HORARIAS PARA EL MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME De las tres ecuaciones sólo se usa la primera para resolver los problemas. Las otras dos no se usan. Son sólo conceptuales. ( Pero hay que saberlas ). Recordá que casi siempre t cero vale cero, entonces la 1ra ecuación horaria queda como: x = x 0 + v t TANGENTE DE UN ÁNGULO Calcular la tangente ( tg ) de un ángulo significa hacer la división entre lo que mide el cateto opuesto y lo que mide el cateto adyacente. Dibujo un ángulo cualquiera. Un triángulo De ángulo alfa En este triángulo la tangente de alfa va a ser: opuesto tg α = adyacente Tangente de un ángulo. Midiendo con una regla directamente sobre la hoja obtengo: Opuesto:,1 cm. Adyacente: 4,8 cm Entonces:,1cm tg α = = 0,437 4,8 cm Fijate que el resultado no dió en cm ni en metros. La tangente de un ángulo es siempre un número sin unidades.

20 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta es una cosa parecida a la tg de un ángulo. Pero la pendiente no es un número. Tiene unidades. Hallar el valor de la pendiente de una recta significa hacer la división entre la cantidad que está representando el cateto opuesto y la cantidad que está representando el cateto adyacente. Veamos: supongamos que tengo la siguiente recta que proviene de la representación de la posición en función del tiempo para una cosa que se viene moviendo con MRU: Para el ángulo alfa que yo dibujé, el cateto opuesto MIDE unos 1,8 cm si lo mido con una regla en la hoja. Pero REPRESENTA 160 m. De la misma manera, el cateto adyacente MIDE unos 3,8 cm; pero REPRESENTA 8 seg. De manera que el valor de la pendiente de la recta va a ser: 160 m m pendiente = pendiente = 0 8 s s En este caso: Valor que representa el Cat. Op. Pendiente = Valor que representa el Cat.Ady. Pendiente de una recta Repito. Fijate que la pendiente no es sólo un número, sino que tiene unidades. En este caso esas unidades me dieron en metros por segundo. La pendiente puede darte en otras unidades también. Eso depende de qué estés graficando en función de qué. LA PENDIENTE DE LA RECTA EN EL GRÁFICO X=f(t) ES LA VELOCIDAD No es casualidad que la pendiente del gráfico anterior haya dado justo en unidades de velocidad. La pendiente de la recta en el gráfico posición en función del tiempo SIEMPRE te va a dar la velocidad del movimiento. Por qué? Rta: Porque al hacer la cuenta opuesto sobre adyacente lo que estás haciendo es x/ t, y esto es justamente la velocidad (Atenti).

21 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS ECUACIONES HORARIAS ( Ver ) En cinemática se usan todo el tiempo 3 gráficos muy importantes que son los de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Cada gráfico es la representación de una de las ecuaciones horarias. Quiero que te acuerdes primero cómo se representaba una recta en matemática. La ecuación de la recta tenía la forma y = m.x + b. Eme era la pendiente y Be era la ordenada al origen ( = el lugar donde la recta corta al eje vertical ). Por ejemplo la ecuación de una recta podría ser y = 3 x + 4. Si tomo la 1 ra ecuación horaria con t 0 = 0 ( Que es lo que en general suele hacerse ), me queda x = x 0 + v. t. Ahora fijate esta comparación: Veo que la ecuación de X en función del tiempo en el MRU también es una recta en donde la velocidad es la pendiente y X 0 es el lugar donde la recta corta el eje vertical. Para cada ecuación horaria puedo hacer lo mismo y entonces voy a tener 3 lindos gráficos, uno para cada ecuación. Los tres tristes gráficos del MRU quedan así: POSICIÓN en función del tiempo ( Muestra que x aumenta linealmente con t ) LOS 3 GRÁFICOS DEL MRU (IMPORTANTES) VELOCIDAD en función del tiempo ( Muestra que v se mantiene constante ). ACELERACIÓN en función del tiempo. Muestra que la a es cero todo el tiempo.

22 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME ANALISIS DE LAS PENDIENTES Y LAS AREAS DE LOS GRAFICOS DEL MRU Los 3 gráficos del MRU son la representación de las ecuaciones horarias. Fijate que en algunos de estos gráficos, el área y la pendiente tienen un significado especial. LA PENDIENDIENTE DEL GRAFICO DE POSICIÓN ES LA VELOCIDAD El grafico de posición en función del tiempo ya lo analicé antes. La pendiente de ese gráfico me da la velocidad. Quiero que lo veas de nuevo con más detalle porque es importante. Fijate. Agarro un gráfico cualquiera de un auto que se mueve con MRU. Por ejemplo, supongamos que es este: Este gráfico me dice que el auto salió de la posición inicial x = 4 m y llegó a la posición final x = 8 m después de segundos. Quiere decir que el tipo recorrió 4 m en seg. Entonces su velocidad es de m/s. Esto mismo se puede ver analizando la pendiente del gráfico. Fijate que el cateto adyacente es el tiempo transcurrido t. El cateto opuesto es el espacio recorrido x. Entonces, si calculo la pendiente tengo : EL AREA DEL GRAFICO DE VELOCIDAD ES EL ESPACIO RECORRIDO Supongamos que un auto se mueve con velocidad 10 m/s. Su gráfico de velocidad sería así: Fijate que al ir a 10 m/s, en segundos el tipo recorre 0 m.

23 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME Esto mismo lo puedo calcular si miro la superficie del gráfico. Fijate qué pasa si hago la cuenta para el área que marqué: A veces es más fácil sacar las velocidades y los espacios recorridos calculando pendientes y áreas que haciendo las cuentas con las ecuaciones. Por ejemplo, fijate el caso de una persona que va primero con una velocidad v 1 y después con otra velocidad v : Para calcular la distancia total que recorrió directamente saco las áreas A 1 y A del gráfico de velocidad. PREGUNTA: Yo analicé solamente la pendiente del gráfico de posición y el área del gráfico de velocidad. Pero también se pueden analizar pendientes y áreas para los otros gráficos. Por ejemplo. Qué significa la pendiente del gráfico de velocidad? Qué significa el área del gráfico de aceleración? ( Pensalo ) Estos conceptos de pendientes y áreas son importantes. Necesito que los entiendas bien porque después los voy a volver a usar en MRUV. UN EJEMPLO DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME Un señor sale de la posición X 0 = 400 Km a las 8 hs y llega a X f = 700 Km a las 11 hs. Viaja en línea recta y con v = cte. Se pide: a)- Calcular con qué velocidad se movió.(en Km/h y en m/s) b)- Escribir las 3 ecuaciones horarias y verificarlas. c)- Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs. d)- Dibujar los gráficos de x = f(t), v = v(t) y a = a(t). Lo que tengo es esto :

24 ASIMOV a) - Calculo con qué velocidad se movió. V era x / t, entonces: v = 700 Km 11 hs 400 Km 8 hs MOV. RECT. Y UNIFORME x x v = t t 0 0 v = Km hs Para pasar 100 Km/h a m/s uso el siguiente truco: ( recordalo por favor ). A la palabra Km la reemplazo por m y a la palabra hora la reemplazo por 3600 seg. Entonces : V = 100 Km / h Km 1000 m 100 = 100. h 3600 seg Km 100 = h 100 m 3,6 seg Velocidad del tipo Fijate en este tres coma seis. De acá saco una regla que voy a usar : Para pasar de Km/h a m / s hay que dividir por 3,6.Para pasar de m /s a Km / h hay que multiplicar por 3,6. Regla para pasar de Km /h a m /s y viceveversa Si no te acordás de esta regla, no es terrible. Lo deducís usando el mismo truco que usé yo y listo. ( O sea, 1 Km son mil metros, 1 hora son segundos, etc ). b ) - Escribir las 3 ec. horarias y verificarlas. Bueno, en el movimiento rectilíneo y uniforme las ecuaciones horarias eran: x = x o + v. ( t t o ) v = Cte a = 0 En este caso reemplazo por los datos y me queda: Km x = 400 Km (t 8 hs) h v = 100 Km h = constante a = 0

25 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME Verificar las ecuaciones horarias significa comprobar que están bien planteadas. Bueno, con la da y la 3 ra ( V = 100 Km / h, y a = 0 ) no tengo problema. Sé que el movimiento es rectilíneo y uniforme de manera que la velocidad me tiene que dar constante y la aceleración cero. ( Están bien ). Vamos a la verificación de la 1 ra ecuación. Si esta ecuación estuviera bien planteada, reemplazando t por 8 hs (= t 0 ), la posición me tendría que dar 400 Km ( = x 0 ). Veamos si da: x = 400Km Km (t h 8 hs) x = 400Km Km (8hs 8hs) h 0 X = 400 Km ( Dió bien ). Vamos ahora a la posición final. Para t = 11 hs la posición me tiene que dar x = 700 Km. Otra vez reemplazo t cero por 11 hs. Hago la cuenta a ver que da. X = 400 Km Km/h ( t - 8 hs ) X = 400 Km Km/h ( 11 hs - 8 hs ) X = 700 Km ( Dió bien ). c)- Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs. Hago lo mismo que lo que hice recién, pero reemplazando t por 9 hs y por 10 hs: Para t = 10 hs : Km x = 400 Km ( 9 hs 8 hs ) h 1h x = 500 Km Posición a las 9 hs. (9hs) x (10hs) x (10hs) Km = 400 Km (10 hs 8 hs) h hs = 600 Km Posición a las10 hs d) - Dibujar los gráficos x = x (t), v = v (t) y a = a (t). El gráfico más complicado de hacer es el de posición en función del tiempo. Con lo que calculé antes puedo armar una tabla y represento estos puntos en el gráfico x-t :

26 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME X ( Km ) t (hs ) 400 Km 8 hs 500 Km 9 hs 600 Km 10 hs 700 Km 11 hs En realidad no hacia falta tomar tantos puntos. Con hubiera sido suficiente ( Porque es una recta ). Finalmente el gráfico posición en función del tiempo X (t) queda así : Los otros gráficos quedarían así Por último me gustaría verificar que la pendiente del gráfico de posición en función del tiempo es la velocidad del movimiento. Veamos si verifica : Fijate bien cómo consideré los catetos opuesto y adyacente. Siempre el cateto opuesto tiene que ser el espacio recorrido ( x ) y siempre el cateto adyacente tiene que ser el tiempo empleado ( t ). Por ejemplo, si la recta estuviera yendo para abajo en vez de para arriba :

27 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME Este sería el caso de una cosa que tiene velocidad negativa. ( = está yendo para atrás). Para la verificación de la pendiente hago esto: pendiente = opuesto adyacente 700Km - 400Km pend. = 11hs - 8hs pend. = 100 Km h Dio bien. VELOCIDAD MEDIA ( Importante ) Cuando uno viaja, no va todo el tiempo a la misma velocidad. Va más rápido, más despacio, frena, para a tomar mate y demás. Entonces no se puede hablar de "velocidad" porque V no es constante. Para tener una idea de la rapidez del movimiento, lo que se hace es trabajar con la VELOCIDAD MEDIA. Si un tipo va de un lugar a otro pero no viaja con velocidad constante, su velocidad media se calcula así: Para qué se calcula la velocidad media? Qué significa calcular la velocidad media? Rta: La velocidad media es la velocidad CONSTANTE que tendría que tener el móvil para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo. Vamos a un ejemplo: UN SEÑOR VA DE BUENOS AIRES A MAR DEL PLATA ( D = 400 KM ). LOS 1ros 300 Km LOS RECORRE EN 3 hs Y MEDIA. DESPUÉS SE DETIENE A DESCANSAR MEDIA HORA Y POR ÚLTIMO RECORRE LOS ÚLTIMOS 100 Km EN 1 HORA. CALCULAR SU VELOCIDAD MEDIA. HACER LOS GRÁFICOS DE POSICIÓN Y VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO Hagamos un dibujito

28 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME La distancia total recorrida es 400 km. El tiempo total que tardó va a ser 3,5 hs + 0,5 hs + 1 h. Entonces su velocidad media va a ser: Si el tipo fuera todo el tiempo a 80 km/h, llegaría a Mar del Plata en 5 hs. Podés ver también este significado mirando los gráficos de posición y velocidad. Ahora fijate el significado hacer los graficos con la velocidad media:

29 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME OTRO EJEMPLO DE VELOCIDAD MEDIA Un señor tiene que recorrer un camino que tiene 100 Km. Los primeros 10 Km los recorre a 10 Km/h. Después recorre 30 Km a 30 Km por hora. Y, por último, recorre los 60 Km finales a 60 Km/h. a)- Qué tiempo tardó en recorrer los 100 Km? b)- A qué velocidad constante tendría que haber ido para recorrer los 100 Km en el mismo tiempo? c) Dibujar los gráficos: x(t),v(t) y a(t). Hago un esquema de lo que plantea el problema: Me fijo que tiempo tardó en recorrer cada tramo. Como V era x / t, entonces t = x /v. Entonces calculo el tiempo que tardó en cada tramo : t 10 Km = 1h 1 10 Km h = 30 Km t = = 1h 30 Km h 60Km t 3 = = 1h 60Km h El tiempo total que va a tardar va a ser la suma de estos 3 tiempos. Es decir: t total = t 1 + t + t 3 t total = 3 hs. Por lo tanto tarda 3 hs en recorrer los 100 Km. b) La velocidad constante a la que tuvo que haber ido para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo es justamente la velocidad media. Entonces: x v m = v m = t 100 Km 3 hs

30 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME v M = 33,33 Km/h Velocidad media c) Fijate como dan los gráficos: Lo que quiero que veas es cómo en el primer gráfico las rectas se van inclinando más y más hacia arriba a medida que aumenta la velocidad. Más aumenta la velocidad, más aumenta la pendiente. Esto no es casualidad. La pendiente de la recta en el gráfico x (t) es justamente la velocidad. Por eso, al aumentar la velocidad, aumenta la inclinación. Esto es algo importante que tenés que saber. Otra cosa: Fijate que la velocidad media NO ES el promedio de las velocidades. PROBLEMA PARA PENSAR UN AUTO RECORRE LA MITAD DE UN CAMINO A 0 km/h Y LA OTRA MITAD A 40 km/h. CUÁL ES SU VELOCIDAD MEDIA? RECORRE CADA MITAD DEL CAMINO A DISTINTA VELOCIDAD Rta: V M = 6,66 Km/h Otra vez : Fijate que la velocidad media NO ES el promedio de las velocidades. Pregunta: Por qué la velocidad media dio más cerca de 0 km/h que de 40 km/h? Ayudita: En este problema la distancia total no es dato. En realidad esa distancia no se necesita para resolver el problema. Entonces, como no la conocés, llamala " d ". ( Cada mitad será d/ ). Hacé las cuentas trabajando con letras y vas a ver que da. Ayudita : La velocidad media no depende de cuál sea el valor de la distancia d. Si el problema no te sale trabajando con letras, dale un valor cualquiera a d. Por ejemplo, 100 km. Calculá el tiempo que tardó en recorrer cada mitad ( = 50 km ) y calculá la velocidad media.

31 ASIMOV MOV. RECT. Y UNIFORME Fijate como dá el gráfico de velocidad hecho en forma cualitativa. Notá que t 1 no vale lo mismo que t. Si pensás un poco, te vas a dar cuenta de que el area debajo de la raya gruesa va a dar el espacio total recorrido. Y esa área tendrá que ser igual a la suma de las áreas A 1 y A. Pregunta: serías capáz de hacer el gráfico de posición en función del tiempo? Tomá, acá te dejo el lugar para que lo pongas. x t NOTA SOBRE MRU : El tema de MRU no es muy tomado en los parciales. A veces aparece algún problema de velocidad media. Pero no mucho más que eso. Sin embargo, hay que saber MRU para entender toooooodo lo que sigue. Si te parece que no entendés Movimiento variado o Caída Libre o Tiro Vertical, atención, es probable que el problema esté en que no captaste del todo MRU. Fin Movimiento Rectilíneo y Uniforme

32 ASIMOV - - MOV. RECT. Y UNIFORME

33 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO

34 ASIMOV MRUV MRUV - MOVIMIENTO RECTLÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Suponé un coche que está quieto y arranca. Cada vez se mueve más rápido. Primero se mueve a 10 por hora, después a 0 por hora, después a 30 por hora y así siguiendo. Su velocidad va cambiando (varía). Esto vendría a ser un movimiento variado. Entonces, Pregunta: Cuándo tengo un movimiento variado? Rta: cuando la velocidad cambia. ( O sea, varía ). Ahora, ellos dicen que un movimiento es UNIFORMEMENTE variado si la velocidad cambia lo mismo en cada segundo que pasa. Mirá el dibujito : Cuando el tipo ve al monstruo se pone a correr. Después de 1 segundo su velocidad es de 10 Km/h y después de segundos es de 0 Km/h. Su velocidad está aumentando, de manera uniforme, a razón de 10 Km/h por cada segundo que pasa. Digo entonces que el movimiento del tipo es uniformemente variado aumentando v = 10 Km/h en cada t = 1 segundo. Atención, aclaro: en física, la palabra uniforme significa "Siempre igual, siempre lo mismo, siempre de la misma manera ". ACELERACIÓN ( Atento ) El concepto de aceleración es muy importante. Es la base para poder entender bien - bien MRUV y también otras cosas como caída libre y tiro vertical. Entender lo que es la aceleración no es difícil. Ya tenés una idea del asunto porque la palabra aceleración también se usa en la vida diaria. De todas maneras lee con atención lo que sigue y lo vas a entender mejor. Fijate. En el ejemplo del monstruo malvado que asusta al señor, el tipo pasa de 0 á 10 Km/h en 1 seg. Pero podría haber pasado de 0 á 10 Km/h en un año. En ese caso estaría acelerando más despacio. Digo entonces que la aceleración es la rapidez con que está cambiando la velocidad.

35 ASIMOV MRUV Más rápido aumenta ( o disminuye ) la velocidad, mayor es la aceleración. Digamos que la aceleración vendría a ser una medida de la "brusquedad" del cambio de velocidad. Si lo pensás un rato, vas a llegar a la conclusión de que para tener algo que me indique qué tan rápido está cambiando la velocidad, tengo que dividir ese cambio de velocidad v por el tiempo t que tardó en producirse. Es decir: v a = t Definición de aceleración Suponé un auto que tiene una velocidad V 0 en t 0 y otra velocidad V f al tiempo t f : Para sacar la aceleración hago : v a = t f f v t 0 0 Así se calcula la aceleración Una cosa. Fijate por favor que cuando en física se habla de aceleración, hablamos de aumentar o disminuir la velocidad. Lo que importa es que la velocidad CAMBIE. ( Varíe ). Para la física, un auto que está frenando tiene aceleración. Atención porque en la vida diaria no se usa así la palabra aceleración. Por eso algunos chicos se confunden y dicen: Pará, pará, hermano. Cómo puede estar acelerando un auto que va cada vez más despacio?! Vamos a un ejemplo. EJEMPLO DE MRUV Un coche que se mueve con MRUV tiene en un determinado momento una velocidad de 30 m/s y 10 segundos después una velocidad de 40 m/s. Calcular su aceleración. vf v0 Para calcular lo que me piden aplico la definición anterior : a = tf t0 Entonces : 40 m/s 30 m/s a = 10 seg a = 10 m/seg

36 ASIMOV MRUV Fijate que el resultado dio en m/s. Estas son las unidades de la aceleración: " metro dividido segundo dividido segundo ". Siempre se suelen poner las unidades de la aceleración en m/s. Pero también se puede usar cualquier otra unidad de longitud dividida por una unidad de tiempo al cuadrado ( como Km/h ). Ahora, pregunta: Qué significa esto de " 1 m/s "? Rta: Bueno, 1 m/s lo puedo escribir como: 1m 1 s} s} Variación de velocidad. Intervalo de tiempo. Esto de " 1 m/seg dividido 1 segundo " se lee así: La aceleración de este coche es tal que su velocidad aumenta 1 metro por segundo, en cada segundo que pasa ( Atención ) Un esquema de la situación sería éste: De acá quiero que veas algo importante: Al tener una idea de lo que es la aceleración puedo decir esto ( Importante ) : La característica del movimiento uniformemente variado es justamente que tiene aceleración constante. Otra manera de decir lo mismo ( y esto se ve en el dibujito ) es decir que en el MRUV la velocidad aumenta todo el tiempo ( o disminuye todo el tiempo ). Y que ese aumento ( o disminución ) de velocidad es LINEAL CON EL TIEMPO. SIGNO DE LA ACELERACIÓN: La aceleración que tiene un objeto puede Ser (+) o (-). Esto depende de cosas: Fin del ejemplo 1 De si el tipo se está moviendo cada vez más rápido o cada vez más despacio. De si se está moviendo en el mismo sentido del eje x o al revés. ( Ojaldre! ) La regla para saber el signo de la aceleración es esta: LA ACELERACIÓN ES POSITIVA CUANDO EL VECTOR ACELE- RACIÓN APUNTA EN EL MISMO SENTIDO QUE EL EJE EQUIS

37 ASIMOV MRUV Si el vector aceleración apunta al revés del eje equis, va a ser negativa. La cosa es que esto nunca se entiende bien y la gente suele decir: Bueno, no es tan difícil. Si el tipo va cada vez más rápido, su aceleración es positiva y si va cada vez más despacio, su aceleración es negativa. Hummmmm... Cuidado! Esto vale solamente si el tipo se mueve en el sentido positivo del eje x. Si el tipo va para el otro lado, los signos son exactamente al revés. No lo tomes a mal. Esto de los signos no lo inventé yo. Todo el asunto sale de reemplazar los valores de las velocidades en la ecuación: a = v t f f v t 0 0 MATEMÁTICA: ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA En matemática, una parábola se representaba por la siguiente ecuación: y = a.x + b.x + c ECUACION DE UNA PARABOLA. Por ejemplo, una parábola podría ser : Y = 4 x + x - 8. Dándole valores a x voy obteniendo los valores de Y. Así puedo construir una tabla. Representando estos valores en un par de ejes x-y voy obteniendo los puntos de la parábola. Eso puede dar una cosa así: La parábola puede dar más arriba:, más abajo,más a la derecha:, más a la izquierda:, más abierta: más cerrada: Puede incluso dar para a bajo: Una parábola puede dar cualquier cosa, dependiendo de los valores de a, b y c. Pero siempre tendrá forma de parábola. Atento con esto! Las parábolas aparecen mucho en los problemas de MRUV. Es un poco largo de explicar. Pero en realidad, resolver un problema de MRUV es resolver la ecuación de una parábola. ( Una ecuación cuadrática, en realidad )

38 ASIMOV MRUV Solución de una ecuación cuadrática Se supone que esto también tuviste que haberlo visto en matemática. Por las dudas lo pongo, lo repasás un minuto y te quedás tranquilo. Una ecuación cuadrática es la ecuación de una parábola igualada a CERO. O sea, una ecuación del tipo: a X + b X + C = 0 ECUACION CUADRATICA Por ejemplo : X - 6 X + 8 = 0. Lo que uno siempre busca son los valores de equis tales que reemplazados en X - 6 X + 8 hagan que todo el choclo dé 0 ( Cero ). Esos valores se llaman soluciones de la ecuación o raíces ecuación. En este caso, esos valores son y 4. x1 = x = 4 Son las raíces de la ecuación x -6x + 8 = 0 Una ecuación cuadrática puede tener soluciones ( como en este caso ); una sola solución ( las dos raíces son iguales ), o ninguna solución ( raíces imaginarias ). Para calcular las raíces de la ecuación cuadrática se usa la siguiente fórmula: Con esto obtengo las soluciones b ± b 4 a c x = x y x de la ec ax + bx + c = 0 1, 1 a Para el ejemplo que puse que era X - 6 X + 8 = 0 tengo: 1 x 6 x + 8 = 0 a b c Entonces: OJO x 1, b ± = b 4 a c a ( 6) ± = ( 6) x = = 4 ; x 6 = = Nota: Algunas calculadoras tienen ya la fórmula para resolver la ecuación cuadrática metida adentro. Vos ponés los valores de a, b y c. Ella te hace la cuenta y te da los valores de las raíces X 1 y X. ( Ta güeno )

39 ASIMOV MRUV ECUACIONES HORARIAS Y GRÁFICOS EN EL MRUV ( IMPORTANTE ) Las ecuaciones horarias son siempre las de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Quiero que veas cómo se representa cada ecuación en el MRUV. Voy a empezar por la 3ra ecuación que es más fácil de entender. 3ª Ecuación horaria ( a = f (t) ) La característica fundamental de un movimiento uniformemente variado es que la aceleración es constante. En el MRUV la aceleración no cambia. Es siempre igual. Vale siempre lo mismo. Esto puesto en forma matemática sería: a = Cte 3 ra Ecuación horaria El gráfico correspondiente es una recta paralela al eje horizontal. O sea, algo así: ª Ecuación horaria ( V = f (t) ) Otra manera de decir que la aceleración es constante es decir que la velocidad aumenta ( o disminuye ) linealmente con el tiempo. Esto sale de la definición de aceleración. Fijate. Era: vf v0 a = t t Tonces, si despejo : V f - V 0 = a ( t t 0 ) V f = V 0 + a ( t t 0 ) f Casi siempre t cero vale cero. Entonces la ecuación de la velocidad queda así: 0 V f = V 0 + a. t da ECUACION HORARIA Esto es la ecuación de una recta. Tiene la forma y = eme equis + be. ( Y = m x + b). Acá el tiempo cumple la función de la variable equis. La representación es así:

40 ASIMOV MRUV Por ejemplo, una ª ecuación horaria típica podría ser: V f = 10 s m + s m t El tipo que se mueve siguiendo la ecuación V f = 10 m/s + m/s. t salió con una velocidad inicial de 10 m/s y tiene una aceleración de m /s. Esto lo vas a entender mejor cuando veas algún ejemplo hecho con números y cuando empieces a resolver problemas. ( Como siempre ). Ahora seguí. 1 ra Ecuación horaria ( x = f (t) ) Esta es la ecuación importante y es la que hay que saber bien. La ecuación de la posición en función del tiempo para el movimiento uniformemente variado es ésta: X = X 0 + V 0 t + ½ a t 1 ra ECUACION HORARIA. La deducción de esta ecuación porque es un poco larga. No la voy a poner acá. Puede ser que ellos hagan la demostración en el pizarrón. No sé. De todas maneras en los libros está. Lo que sí quiero que veas es que es la ecuación de una parábola. Fijate: x y = x 0 + v 0.t + 1 a = c + b x + a.. t x VER LA CORRESPONDEN- CIA DE CADA TERMINO Cada término de la ecuación X = X 0 + V 0 t + ½ a t tiene su equivalente en la expresión Y = a x + b x + C. La representación de la posición en función del tiempo es esta: Este dibujito lindo quiere decir muchas cosas. Ellos suelen decirlo así : Este gráfico representa la variación de la posición en función del tiempo para un movimiento uniformemente variado. Este dibujito lindo es la representación gráfica de la función X = x 0 + V 0 t + ½ a t. La ecuación nos da nada más ni nada menos que la posición del móvil para cualquier instante t. Esta función es una ecuación cuadrática. ( t está al cuadrado ). Esto es importante porque me da una característica fundamental del movimiento uniformemente variado. Esa característica es esta:

41 ASIMOV MRUV " EN EL MRUV LA POSICIÓN VARÍA CON EL CUADRADO DEL TIEMPO. X = f ( t ). EQUIS DEPENDE DE t CUADRADO " Te decía entonces que la representación gráfica de X = X 0 + V 0 t + ½ a t es una parábola. Esta parábola puede dar para la derecha, para la izquierda, muy cerrada, muy abierta... Eso va a depender de los valores de equis cero, de ve cero y de a. Ahora, el hecho de que la parábola vaya para arriba o para abajo depende ÚNICA- MENTE del signo de la aceleración. Si a es ( + ), la parábola irá para arriba ( ). Si a es ( - ), la parábola irá para abajo ( ). Esto podés acordártelo de la siguiente manera: a = + a = - La parábola positiva está contenta. La parábola negativa está triste. Conclusión: Hay que ser positivo en la vida! No. Conclusión: mirá el siguiente ejemplo a ver si lo entendés mejor: Ejemplo. Supongamos que tengo la siguiente ecuación horaria para algo que se mueve con MRUV : m m.t X = 4 m + 1.t + s s Este sería el caso de algo que salió de la posición inicial 4 m con una velocidad de 1 m/s y una aceleración de 4 m/ s. ( Ojo, es 4, no. Pensalo ). Para saber cómo es el gráfico le voy dando valores a t y voy sacando los valores de x. Es decir, voy haciendo las cuentas y voy armando una tablita. x [m] t [seg] TABLA CON LOS VALO- RES DE LAS POSICIO- NES Y LOS TIEMPOS. Ahora represento esto y me da una cosa así:

42 ASIMOV MRUV Este gráfico es la representación de la 1ra ecuación horaria. Me gustaría que notaras dos cosas: 1) - La parábola va para arriba ( ) porque a es positiva. ) - Aunque uno vea sólo un arco así esto es una parábola. La parte que falta estaría a la izquierda y no la dibujé. La podría representar si le diera valores negativos a t ( como 1 seg, - seg, etc ). En ese caso el asunto daría así: UN EJEMPLO DE MRUV Fin Explicación Ec. Horarias Una hormiga picadorus sale de la posición X 0 = 0 con velocidad inicial cero y comienza a moverse con aceleración a = m/s. a) - Escribir las ecuaciones horarias. b) - Hacer los gráficos x (t), v (t) y a (t). Voy a hacer un esquema de lo que pasa y tomo un sistema de referencia: Las ecuaciones horarias para una cosa que se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente variado son: x = x + v t+ v = v + a t f 0 a = cte ECUACIONES HORARIAS ESCRITAS EN FORMA GENERAL. x 0 y v 0 valen cero. Reemplazando por los otros datos el asunto queda así: 1 m x = t + t s m vf = 0 + t s m a = = cte s 0 0 Ecuaciones horarias para la hormiga Ahora, dando valores a t voy sacando los valores de equis y de v. Hago esta tabla: 1 a t

43 ASIMOV MRUV X t V t a t m/s 0 1 m 1 s m/s 1 s m/s 1 s 4 m s 4 m/s s m/s s Teniendo la tabla puedo representar las ecuaciones horarias. LA ECUACIÓN COMPLEMENTARIA ( leer ) Fin del Ejemplo Hay una fórmula más que se usa a veces para resolver los problemas. La suelen llamar ecuación complementaria. La fórmula es ésta: V f V 0 = a ( X f X 0 ) ECUACION COMPLEMENTARIA Esta ecuación vendría a ser una mezcla entre la 1 ra y la da ecuación horaria. La deducción de esta ecuación es un poco larga. Pero te puedo explicar de dónde sale. Seguime. Escribo las primeras ecuaciones horarias. Despejo t de la da y lo reemplazo en la 1 ra. x = x + v t v = v + a t f 1 a t t = v v f a 0 REEMPLAZO Si vos te tomás el trabajex de reemplazar el choclazo y de hacer todos los pasos que siguen, termina quedándote la famosa ecuación complementaria. Sobre esta ecuación me gustaría que veas algunas cositas. Primero: Las ecuaciones horarias se llaman así porque en ellas aparece el tiempo. ( El tiempo = la hora ). La ecuación complementaria NO es una ecuación horaria porque en ella no aparece el tiempo.

44 ASIMOV MRUV Segundo: Esta ecuación no es una nueva fórmula. Es mezcla de las otras dos ecuaciones Tercero: Nunca es imprescindible usar la ecuación complementaria para resolver un problema. Todo problema de MRUV tiene que poder resolverse usando solamente la 1ª y la ª ecuación horaria. Lo que tiene de bueno la expresión V f V 0 = a ( X f X 0 ) es que permite hallar lo que a uno le piden sin calcular el tiempo. Es decir, facilita las cuentas cuando uno tiene que resolver un problema en donde el tiempo no es dato. Resumiendo: La ecuación complementaria ahorra cuentas. Eso es todo. Ejemplo: En el problema anterior, calcular la velocidad que tiene la hormiga picadorus después de recorrer 1 m. Usando la ecuación complementaria: v v f f v 0 0 = = a.. m. s ( x x ) f 0 ( 1m 0 ) V f = m s VELOCIDAD FINAL Lo hago ahora sin usar la ecuación complementaria: Escribo las ecuaciones horarias: De la ª v f t = m s ecuación v t = f 0 v a horaria : 0 v f = v 0 + a.t Tiempo que tardó la picadorus en recorrer 1m La 1ª ec. horaria era : x = x 0 + v 0 t + 1 a t Reemplazando t por 1m = t + v m f s : 1 m t s 1m = 1 m s v m f s m s 1m = s m 4 v f 4 v f = m s (verifica)

45 ASIMOV MRUV VELOCIDAD INSTANTÁNEA EN EL MRUV ( leer ) En el movimiento uniformemente variado la velocidad va cambiando todo el tiempo. La velocidad instantánea es la que tiene el tipo justo en un momento determinado. ( = en ese instante ). El velocímetro de los autos va marcando todo el tiempo la velocidad instantánea. VELOCIDAD INSTANTANEA Velocímetro Ahora quiero que le prestes atención a una cuestión importante. Suponé que agarro el gráfico de posición en función del tiempo y trazo la tangente a la parábola en algún lugar. La pendiente de esta recta tangente me va a dar la velocidad instantánea en ese momento. Fijate: Es decir, yo tengo la parábola. Ahora lo que hago es agarrar una regla y trazar la tangente en algún punto determinado de la curva ( por ejemplo en t 1 = 3 seg ). Esa recta va a formar un ángulo alfa y va a tener una determinada inclinación. O sea, una determinada pendiente. ( Pendiente = inclinación ). Midiendo esa pendiente tengo la velocidad instantánea en ese momento ( a los 3 segundos ). Es un poco largo de explicar porqué esto es así, pero es así. Se supone que alguna vez tendrían que habértelo explicado en matemática. ( Derivada y todo eso). De este asunto puedo sacar como conclusión que cuanto mayor sea la inclinación de la recta tangente al gráfico de posición, mayor será la velocidad del tipo en ese momento. Por favor prestale atención a esta última frase y mirá el siguiente dibujito:

46 ASIMOV MRUV La idea es que entiendas esto: En el gráfico la pendiente de la recta para t = seg es mayor que la pendiente de la recta para t = 1 seg. Esto me dice la que la velocidad a los seg es mayor que la velocidad en 1 seg. Esto es razonable. Este gráfico representa a un tipo que se mueve cada vez más rápido. Todo bien. Ahora, pregunto:... Cuál será la velocidad del tipo para t = 0? ( ojo ) Rta: Bueno, ahí la recta tangente es horizontal ( ). Y la pendiente de una recta horizontal es CERO. Entonces la velocidad tendrá que ser cero. ANÁLISIS DE LA PENDIENTE y DEL ÁREA DEL GRÁFICO v = v (t) Supongamos que tengo un gráfico cualquiera de velocidad en función del tiempo. Por ejemplo éste: Este gráfico indica que lo que se está moviendo salió con una velocidad inicial de 4 m/s y está aumentando su velocidad en m/s, por cada segundo que pasa. Pensemos: Qué obtengo si calculo la pendiente de la recta del gráfico? Rta: Obtengo la aceleración. Esta aceleración sale de mirar el siguiente dibujito:

47 ASIMOV MRUV En este caso el opuesto es v ( la variación de velocidad ), y el adyacente es t ( el intervalo de tiempo ). De manera que, hacer la cuenta opuesto sobre adyacente es Hacer la cuenta delta V sobre delta t ( v / t ). Y eso es justamente la aceleración! En este caso en especial daría así: op v 8m s- 4m s Pend = = = ady t s - 0 s m Pend = Aceleración s Y si calculo el área que está bajo la recta que obtengo? Veamos: A ver si me seguís: El área del coso así va a ser la de este + la de este. A = A + A b h t = b h + = v t + 0 v= a t v A = v t a t Esto es x - x 0 A = x A = Espacio recorrido Recordar Ahora en el ejemplo que puse antes, el área va a ser: A = A + A = m seg 4 + s seg ( 8 m s 4 m s ) A = 1 m Espacio recorrido

48 ASIMOV MRUV LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN SON VECTORES La velocidad y la aceleración son vectores. Qué quiere decir esto? Rta: Quiere decir que puedo representar la velocidad y la aceleración por una flecha. Si por ejemplo, la velocidad va así, la flecha se pone apuntando así. La situación del dibujito es el caso de un tipo que se mueve con velocidad constante. Fijate ahora estas otras posibilidades: Lo que quiero que veas es que si el auto va para la derecha, la velocidad siempre irá para la derecha, pero la aceleración NO. ( Es decir, puede que sí, puede que no. Esta cuestión es importante por lo siguiente: si la velocidad que tiene una cosa va en el mismo sentido que el eje x, esa velocidad será ( + ). Si va al revés será ( - ). Lo mismo pasa con la aceleración ( y acá viene el asunto ). Fijate : Ejemplo: Un auto que viene con una velocidad de 54 Km/h frena durante 3 seg con una aceleración de m/s. Qué distancia recorrió en ese intervalo?. Hago un esquema de lo que pasa. El auto viene a 54 por hora y empieza a frenar.

49 ASIMOV MRUV 54 km por hora son 15 m/seg. ( Dividí por 3,6 ). El dibujito sería este: Ahora tomo un sistema de referencia. Lo tomo positivo para allá. Planteo las ecuaciones horarias. Me queda esto: m x m B = + t + t s s m m vb = 15 + t s s m ab = - = cte. s Ecuaciones horarias. En la 1ª ec. horaria reemplazo t por 3 seg y calculo la posición final: ver m xf = 15 3 seg s m 1 s ( 3seg ) xf = 36 m Posición final Conclusión: En los tres segundos el tipo recorre 36 metros. Si yo me hubiera equivocado en el signo de la aceleración y la hubiera puesto positiva, la cosa habría quedado así: x f = 15 m 3 seg s + m 1 s ( 3seg ) X f = 54 m ( Nada que ver ) Lo mismo hubiera pasado si hubiera calculado la velocidad final después de los 3 seg: v f = 15 m s v f m + 3seg s m = 1 s HORROR!

50 ASIMOV MRUV Esto no puede ser. La velocidad final tiene que dar menor que la inicial! ( El tipo está frenando ). Por eso: ojo con el signo de la aceleración. Si lo ponés mal, toooooodo el problema da mal. CÓMO RESOLVER PROBLEMAS DE MRUV Lo 1ro que hay que hacer es un dibujito de lo que el problema plantea y tomar un sistema de referencia. Una vez que uno tomó el sistema de referencia, escribe las ecuaciones horarias X = X 0 + V 0 t + ½ a t y V f = V 0 + a.t. En las ecuaciones uno reemplaza por los datos y el problema tiene que salir. Si el tiempo no es dato y querés ahorrarte cuentas, podés usar la ecuación complementaria V f V 0 = a ( X f X 0 ) Por favor acordate de una cosa : Todo problema de MRUV tiene que poder resolverse usando la 1 ra y la da ecuación horaria. NADA MAS. Puede ser que haya que usar primero una ecuación y después la otra. Puede ser que haya que combinar las ecuaciones. Puede ser cualquier cosa, pero todo problema tiene que salir de ahí. Aclaro esto porque a veces vos venís con MILES de ecuaciones de MRUV escritas en tu hoja de formulas. Está MAL. Miles de ecuaciones? Por qué miles? Las ecuaciones que permiten resolver un problema de MRUV son. O sea, te estás complicando. Repito: Hay sólo DOS las ecuaciones que permiten resolver cualquier problema de MRUV. En algún caso tal vez pueda convenir usar la ecuación complementaria si el tiempo no es dato. Pero, insisto, eso se hace para ahorrarse cuentas, nada más. Usando solamente la 1ª y la ª ecuación horaria el problema TIENE QUE SALIR. Tal vez sea más largo, pero usando solo ecuaciones el problema tiene que salir. Fin MRUV

SE CONSERVA LA ENERGÍA

SE CONSERVA LA ENERGÍA 95 CHOQUE ELASTICO Tengo un choque elástico cuando los cuerpos chocan y no se pierde energía en el choque. Es decir, en los choques elásticos SE CONSERVA LA ENERGÍA. ( Atento con esto porque es el concepto

Más detalles

TRABAJO Y ENERGIA. Trabajo de una fuerza

TRABAJO Y ENERGIA. Trabajo de una fuerza TRABAJO Y ENERGIA ASIMOV - 9 - TRABAJO Y ENERGIA TRABAJO Y ENERGIA Trabajo de una fuerza Uno suele pensar que una fuerza es la acción que uno ejerce con la mano al tirar o empujar una cosa. Por ejemplo,

Más detalles

ASIMOV MATEMÁTICA PARA EL CBC, Parte 1

ASIMOV MATEMÁTICA PARA EL CBC, Parte 1 MATEMÁTICA PARA EL CBC, Parte 1 Matemática para el CBC, Parte 1-2 da. edición. Buenos Aires: Editorial Asimov, 2013 150 p.; 21 x 27 cm. ISBN: 978-987-23534-1-4 Matemática para el CBC, Parte 1-2da ed. -

Más detalles

ASIMOV FISICA PARA EL CBC, Parte 1

ASIMOV FISICA PARA EL CBC, Parte 1 ASIMOV FISICA PARA EL CBC, Parte 1 FISICA Para el CBC - Parte 1 - ESTATICA y CINEMATICA FISICA CERO MATEMÁTICA NECESARIA PARA ENTENDER FÍSICA ESTATICA FUERZAS COPUNTUALES SUMA DE FUERZAS REGLA DEL PA-

Más detalles

d s = 2 Experimento 3

d s = 2 Experimento 3 Experimento 3 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN Objetivos 1. Establecer la relación entre la posición y la velocidad de un cuerpo en movimiento 2. Calcular la velocidad como el cambio de posición

Más detalles

CINEMÁTICA. POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ( Conceptos )

CINEMÁTICA. POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ( Conceptos ) 9 CINEMÁTICA POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ( Conceptos ) En cinemática lo que hacemos es ver cómo se mueve un cuerpo. Ese cuerpo puede ser un coche, un pájaro, una nube, una galaxia, lo que sea. Ver

Más detalles

CHOQUE.(CANTIDAD DE MOVIMIENTO )

CHOQUE.(CANTIDAD DE MOVIMIENTO ) APUNTES Materia: Tema: Curso: Física y Química Momento Lineal 4º ESO CHOQUE.(CANTIDAD DE MOVIMIENTO ) CANTIDAD DE MOVIMIENTO Si un cuerpo de masa m se está moviendo con velocidad v, la cantidad de movimiento

Más detalles

EL AREA DEL GRAFICO DE F EN FUNCION DE d ES EL L REALIZADO

EL AREA DEL GRAFICO DE F EN FUNCION DE d ES EL L REALIZADO - 1 - EL AREA DEL GRAFICO DE F EN FUNCION DE d ES EL L REALIZADO Suponete que tenés un carito que tiene una fuerza aplicada. La fuerza empuja y el carrito acelera. Al moverse la fuerza F está realizando

Más detalles

Ejercicios resueltos de cinemática

Ejercicios resueltos de cinemática Ejercicios resueltos de cinemática 1) Un cuerpo situado 50 metros por debajo del origen, se mueve verticalmente con velocidad inicial de 20 m/s, siendo la aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s 2. a) Escribe

Más detalles

EL MOVIMIENTO CUESTIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS

EL MOVIMIENTO CUESTIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS EL MOVIMIENTO CUESTIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS 1 DIFICULTAD BAJA 1. Qué magnitud nos mide la rapidez con la que se producen los cambios de posición durante un movimiento? Defínela. La velocidad media.

Más detalles

Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos

Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos 1 Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos Herbert Mendía A. 2011-10-12 www.cimacien.org.gt Conocimientos previos necesarios Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Jerarquía

Más detalles

CINEMÁTICA II: MRUA. 370 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1. Bachillerato MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA II: MRUA. 370 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1. Bachillerato MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. PROBLEMAS RESUELTOS CINEMÁTICA II: MRUA PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA RESUELTO Una persona lanza un objeto desde el suelo verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 0 m/s. Calcula: a) La altura máxima alcanzada. b)

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

A continuación voy a colocar las fuerzas que intervienen en nuestro problema.

A continuación voy a colocar las fuerzas que intervienen en nuestro problema. ísica EL PLANO INCLINADO Supongamos que tenemos un plano inclinado. Sobre él colocamos un cubo, de manera que se deslice sobre la superficie hasta llegar al plano horizontal. Vamos a suponer que tenemos

Más detalles

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx.

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx. Conceptos de derivada y de diferencial Roberto C. Redondo Melchor, Norberto Redondo Melchor, Félix Redondo Quintela 1 Universidad de Salamanca 18 de agosto de 2012 v1.3: 17 de septiembre de 2012 Aunque

Más detalles

Cajón de Ciencias. Ejercicios resueltos de Movimiento rectilíneo uniforme

Cajón de Ciencias. Ejercicios resueltos de Movimiento rectilíneo uniforme Ejercicios resueltos de Movimiento rectilíneo uniforme 1) Pasar de unidades las siguientes velocidades: a) de 36 km/h a m/s b) de 10 m/s a km/h c) de 30 km/min a cm/s d) de 50 m/min a km/h 2) Un móvil

Más detalles

ASIMOV MATEMÁTICA PARA EL CBC, Parte 2

ASIMOV MATEMÁTICA PARA EL CBC, Parte 2 MATEMÁTICA PARA EL CBC, Parte Matemática para el CBC, Parte - da. edición. Buenos Aires: Editorial Asimov, 0 6 p.; 7 cm. ISBN: 978-987-54-4-5 Matemática para el CBC, Parte - da ed. - Buenos Aires : Asimov,

Más detalles

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar

Más detalles

Repasando lo aprendido...con una propuesta autoinstruccional

Repasando lo aprendido...con una propuesta autoinstruccional Repasando lo aprendido......con una propuesta autoinstruccional Te propongo un rápido repaso en matemática básica, que te será de suma utilidad para fijar los conocimientos dados. Sólo te brindo una guía

Más detalles

Grado polinomial y diferencias finitas

Grado polinomial y diferencias finitas LECCIÓN CONDENSADA 7.1 Grado polinomial y diferencias finitas En esta lección Aprenderás la terminología asociada con los polinomios Usarás el método de diferencias finitas para determinar el grado de

Más detalles

Unidad: Representación gráfica del movimiento

Unidad: Representación gráfica del movimiento Unidad: Representación gráfica del movimiento Aplicando y repasando el concepto de rapidez Esta primera actividad repasa el concepto de rapidez definido anteriormente. Posición Esta actividad introduce

Más detalles

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta: Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Solución Actividades Tema 4 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y CIRCULARES. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA.

Solución Actividades Tema 4 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y CIRCULARES. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA. Solución Actividades Tema 4 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y CIRCULARES. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA. Actividades Unidad 4. Nos encontramos en el interior de un tren esperando a que comience el viaje. Por la

Más detalles

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3 APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 3 1-T 3--2ºESO EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Son combinaciones de n os y letras unidos con operaciones matemáticas (aritméticas), que generalmente suelen ser sumas, restas, multiplicaciones

Más detalles

Trabajo y energía: ejercicios resueltos

Trabajo y energía: ejercicios resueltos Trabajo y energía: ejercicios resueltos 1) Un hombre debe mover 15 metros una caja de 20Kg realizando una fuerza de 40N. Calcula el trabajo que realiza si: a) Empuja la caja desde atrás. b) Tira de la

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS 1º DE BACHILLERATO (Hnos. Machado): EJERCICIOS DE REFUERZO 1º EVALUACIÓN (Cinemática) Por Álvaro Téllez Róbalo

EJERCICIOS RESUELTOS 1º DE BACHILLERATO (Hnos. Machado): EJERCICIOS DE REFUERZO 1º EVALUACIÓN (Cinemática) Por Álvaro Téllez Róbalo EJERCICIOS RESUELTOS 1º DE BACHILLERATO (Hnos. Machado): EJERCICIOS DE REFUERZO 1º EVALUACIÓN (Cinemática) Por Álvaro Téllez Róbalo 1. El vector posición de un punto, en función del tiempo, viene dado

Más detalles

PROPORCIONALIDAD - teoría

PROPORCIONALIDAD - teoría PROPORCIONALIDAD RAZÓN: razón de dos números es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razón de los dos números a y b es a:b, o lo que es lo mismo, la fracción b a. PROPORCIÓN: es la igualdad de dos

Más detalles

ESTATICA. Componentes ortogonales de una fuerza. Seminario Universitario Física

ESTATICA. Componentes ortogonales de una fuerza. Seminario Universitario Física ESTATICA Es la parte de la física que estudia las fuerzas en equilibrio. Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas o actúan varias fuerzas cuya resultante es cero, decimos que el cuerpo está en equilibrio.

Más detalles

Respuestas a las preguntas conceptuales.

Respuestas a las preguntas conceptuales. Respuestas a las preguntas conceptuales. 1. Respuesta: En general es más extensa la distancia recorrida. La distancia recorrida es una medición que pasa por todos los puntos de una trayectoria, sin embargo

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA

CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA ASIMOV - 8 - ENERGÍA MECÁNICA - CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ENERGÍA POTENCIAL Suponé que sostengo una cosa a del piso y la suelto. Al principio la cosa tiene velocidad inicial

Más detalles

Funciones elementales

Funciones elementales 10 Funciones elementales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer y distinguir algunas de las funciones más habituales. Utilizar algunas funciones no lineales: cuadráticas, de proporcionalidad

Más detalles

M.R.U. v = cte. rectilíneo. curvilíneo. compos. movimiento

M.R.U. v = cte. rectilíneo. curvilíneo. compos. movimiento RECUERDA: La cinemática, es la ciencia, parte de la física, que se encarga del estudio del movimiento de los cuerpos, tratando de definirlos, clasificarlos y dotarlos de alguna utilidad práctica. El movimiento

Más detalles

1.1Estándares de longitud, masa y tiempo

1.1Estándares de longitud, masa y tiempo CLASES DE FISICA 1 PRIMER PARCIAL 1) UNIDADES DE MEDIDA 2) VECTORES 3) MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION 4) MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 5) MOVIMIENTO RELATIVO FÍSICA Y MEDICIONES Al igual que todas las demás

Más detalles

Teoría y Problemas resueltos paso a paso

Teoría y Problemas resueltos paso a paso Departamento de Física y Química 1º Bachillerato Teoría y Problemas resueltos paso a paso Daniel García Velázquez MAGNITUDES. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DIMENSIONAL Magnitud es todo aquello que puede ser

Más detalles

ASIMOV FISICA PARA EL CBC, Parte 2

ASIMOV FISICA PARA EL CBC, Parte 2 FISICA PARA EL CBC, Parte LF- FISICA Para el CBC - PARTE - DINAMICA - TRABAJO Y ENERGIA DINAMICA LEYES DE NEWTON - DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE - CUERPOS VIN- CULADOS - PLANO INCLINADO - ROZAMIENTO - DINAMICA

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE CINEMÁTICA. 4º E.S.O. Y 1º DE BACHILLERATO

EJERCICIOS RESUELTOS DE CINEMÁTICA. 4º E.S.O. Y 1º DE BACHILLERATO EJERCICIOS RESUELTOS DE CINEMÁTICA. 4º E.S.O. Y 1º DE BACHILLERATO NOTA DEL PROFESOR: La finalidad de esta colección de ejercicios resueltos consiste en que sepáis resolver las diferentes situaciones que

Más detalles

Fracciones. Objetivos. Antes de empezar

Fracciones. Objetivos. Antes de empezar Fracciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Conocer el valor de una fracción. Identificar las fracciones equivalentes. Simplificar una fracción hasta la fracción irreducible. Pasar fracciones a

Más detalles

Guía para el examen de 4ª y 6ª oportunidad de FÍsica1

Guía para el examen de 4ª y 6ª oportunidad de FÍsica1 4a 4a 6a Guía para el examen de 4ª y 6ª oportunidad de FÍsica1 Capitulo 1 Introducción a la Física a) Clasificación y aplicaciones b) Sistemas de unidades Capitulo 2 Movimiento en una dimensión a) Conceptos

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Límites

Profr. Efraín Soto Apolinar. Límites Límites Cada rama de las matemáticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma. Nosotros empezamos el estudio del cálculo infinitesimal, que está compuesto del cálculo diferencial

Más detalles

DESIGUALDADES página 1

DESIGUALDADES página 1 DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO) Si una función es derivable en un punto = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de

Más detalles

Transformación de gráfica de funciones

Transformación de gráfica de funciones Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir

Más detalles

Taller: Análisis gráfico de situaciones dinámicas. Por: Ricardo De la Garza González, MC.

Taller: Análisis gráfico de situaciones dinámicas. Por: Ricardo De la Garza González, MC. Taller: Análisis gráfico de situaciones dinámicas Por: Ricardo De la Garza González, MC. Agenda Introducción La ciencia escolar Enfoque epistémico Modelo de Giere Breve semblanza histórica del estudio

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

1 EL MOVIMIENTO Y SU DESCRIPCIÓN

1 EL MOVIMIENTO Y SU DESCRIPCIÓN EL MOVIMIENTO Y SU DESCRIPCIÓN EJERCICIOS PROPUESTOS. De una persona que duerme se puede decir que está quieta o que se mueve a 06 560 km/h (aproximadamente la velocidad de la Tierra alrededor del Sol).

Más detalles

Cantidades vectoriales y escalares

Cantidades vectoriales y escalares Solución: Al sustituir las unidades por las cantidades en cada término, tenemos m m, m = ( ) H ^ ist se obtiene m = m + m Con esto se satisfacen tanto la regla 1 como la regla 2. Por tanto, la ecuación

Más detalles

OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES

OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES VECTORES EN 3D (O EN R 3) Presentación: este apunte te servirá para repasar y asimilar que son los vectores en un espacio tridimensional, sólo hablamos de los vectores como se utilizan en Álgebra, para

Más detalles

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión:

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión: Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos

Más detalles

Funciones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Relaciones funcionales...pág. 204. 2.Representación gráfica...pág. 211. 3.Propiedades generales...pág.

Funciones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Relaciones funcionales...pág. 204. 2.Representación gráfica...pág. 211. 3.Propiedades generales...pág. 11 Funciones. Objetivos En esta quincena aprenderás a: Comprender, distinguir y valorar el concepto de función Interpretar y relacionar tabla, gráfica y fórmula de una relación funcional Distinguir los

Más detalles

Recuerda lo fundamental

Recuerda lo fundamental 1 Geometría analítica Recuerda lo fundamental Curso:... Fecha:... GEOMETRÍA ANALÍTICA PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Las coordenadas del punto medio M de un segmento de extremos A y B son: A(x 1, y 1 ), B(x,

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b

Profr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b La función lineal Una función polinomial de grado uno tiene la forma: y = a 0 + a 1 x El semestre pasado estudiamos la ecuación de la recta. y = m x + b En la notación de funciones polinomiales, el coeficiente

Más detalles

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UNIDAD 3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Concepto clave: 1. Razones trigonométricas Si A es un ángulo interior agudo de un triángulo rectángulo y su medida es, entonces: sen longitud del cateto opuesto al A

Más detalles

1. HABILIDAD MATEMÁTICA

1. HABILIDAD MATEMÁTICA HABILIDAD MATEMÁTICA SUCESIONES, SERIES Y PATRONES. HABILIDAD MATEMÁTICA Una serie es un conjunto de números, literales o dibujos ordenados de tal manera que cualquiera de ellos puede ser definido por

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

Cuaderno de evidencias de Física II. Preparatoria No. 22 VECTORES. EL ALUMNO: Aprende y aplica el concepto de vector en su medio social donde convive.

Cuaderno de evidencias de Física II. Preparatoria No. 22 VECTORES. EL ALUMNO: Aprende y aplica el concepto de vector en su medio social donde convive. Cuaderno de evidencias de Física II VECTORES Preparatoria No. 22 EL ALUMNO: Aprende y aplica el concepto de vector en su medio social donde convive. I. VECTORES EXAMEN DIAGNÓSTICO DADOS TUS CONOCIMIENTO

Más detalles

Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato

Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato 1. Sean los vectores a = i y b = i 5 j. Demostrar que a + b = a + b a b cos ϕ donde ϕ es el ángulo que forma el vector b con el eje X.. Una barca, que lleva una

Más detalles

E G m g h r CONCEPTO DE ENERGÍA - CINÉTICA - POTENCIAL - MECÁNICA

E G m g h r CONCEPTO DE ENERGÍA - CINÉTICA - POTENCIAL - MECÁNICA Por energía entendemos la capacidad que posee un cuerpo para poder producir cambios en sí mismo o en otros cuerpos. Es una propiedad que asociamos a los cuerpos para poder explicar estos cambios. Ec 1

Más detalles

Experimento 4 MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE. Objetivos. Teoría

Experimento 4 MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE. Objetivos. Teoría Experimento 4 MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE Objetivos 1. Medir la distancia recorrida y la velocidad de un objeto que se mueve con: a. velocidad constante y b. aceleración constante,. Establecer

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

1 Estática Básica Prohibida su reproducción sin autorización. CONCEPTOS DE FISICA MECANICA. Conceptos de Física Mecánica

1 Estática Básica Prohibida su reproducción sin autorización. CONCEPTOS DE FISICA MECANICA. Conceptos de Física Mecánica 1 CONCEPTOS DE FISICA MECANICA Introducción La parte de la física mecánica se puede dividir en tres grandes ramas de acuerdo a lo que estudia cada una de ellas. Así, podemos clasificarlas según lo siguiente:

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE PLANO INCLINADO. Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga Colombia 2010

PROBLEMAS RESUELTOS DE PLANO INCLINADO. Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga Colombia 2010 PROBLEMAS RESUELOS DE PLANO INCLINADO Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga Colombia 010 Para cualquier inquietud o consulta escribir a: [email protected] [email protected] [email protected]

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

un coche está parado en un semáforo implica v 0 =0.

un coche está parado en un semáforo implica v 0 =0. TEMA 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Movimiento con aceleración constante Al abordar un problema debes fijar el origen de coordenadas y la dirección positiva.

Más detalles

La masa es la magnitud física que mide la inercia de los cuerpos: N

La masa es la magnitud física que mide la inercia de los cuerpos: N Pág. 1 16 Las siguientes frases, son verdaderas o falsas? a) Si el primer niño de una fila de niños que corren a la misma velocidad lanza una pelota verticalmente hacia arriba, al caer la recogerá alguno

Más detalles

Ideas básicas sobre movimiento

Ideas básicas sobre movimiento Ideas básicas sobre movimiento Todos conocemos por experiencia qué es el movimiento. En nuestra vida cotidiana, observamos y realizamos infinidad de movimientos. El desplazamiento de los coches, el caminar

Más detalles

APÉNDICE 2. Ejercicios para el aprendizaje perceptivo-discriminativo

APÉNDICE 2. Ejercicios para el aprendizaje perceptivo-discriminativo APÉNDICE 2. Ejercicios para el aprendizaje perceptivo-discriminativo Para realizar con material Como hemos afirmado anteriormente, muchas actividades perceptivodiscriminativas permiten integrar objetivos

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

TRABAJO Y ENERGÍA. Campos de fuerzas

TRABAJO Y ENERGÍA. Campos de fuerzas TRABAJO Y ENERGÍA 1. Campos de fuerzas. Fuerzas dependientes de la posición. 2. Trabajo. Potencia. 3. La energía cinética: Teorema de la energía cinética. 4. Campos conservativos de fuerzas. Energía potencial.

Más detalles

CINEMÁTICA I FYQ 1º BAC CC.

CINEMÁTICA I FYQ 1º BAC CC. www.matyfyq.com Página 1 de 5 Pregunta 1: La posición de una partícula en el plano viene dada por la ecuación vectorial: r(t) = (t 2 4) i + (t + 2) j En unidades del SI calcula: a) La posición de la partícula

Más detalles

METALOGO. PAPITO, POR QUÉ SE DESORDENAN LAS COSAS?.

METALOGO. PAPITO, POR QUÉ SE DESORDENAN LAS COSAS?. METALOGO. PAPITO, POR QUÉ SE DESORDENAN LAS COSAS?. Hija: Papá Por qué se desordenan las cosas?. Padre: Qué quieres decir? Cosas? Desordenarse?. Gregory Bateson. Hija: Bueno, la gente gasta mucho tiempo

Más detalles

Integrales y ejemplos de aplicación

Integrales y ejemplos de aplicación Integrales y ejemplos de aplicación I. PROPÓSITO DE ESTOS APUNTES Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducción a la noción de integral. De ninguna manera se pretende seguir

Más detalles

Líneas Equipotenciales

Líneas Equipotenciales Líneas Equipotenciales A.M. Velasco (133384) J.P. Soler (133380) O.A. Botina (133268) Departamento de física, facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia Resumen. En esta experiencia se estudia

Más detalles

Una fórmula para la pendiente

Una fórmula para la pendiente LECCIÓN CONDENSADA 5.1 Una fórmula para la pendiente En esta lección aprenderás cómo calcular la pendiente de una recta dados dos puntos de la recta determinarás si un punto se encuentra en la misma recta

Más detalles

GUIA DE PROBLEMAS. 3) La velocidad de un auto en función del tiempo, sobre un tramo recto de una carretera, está dada por

GUIA DE PROBLEMAS. 3) La velocidad de un auto en función del tiempo, sobre un tramo recto de una carretera, está dada por Unidad : Cinemática de la partícula GUIA DE PROBLEMAS 1)-Un automóvil acelera en forma uniforme desde el reposo hasta 60 km/h en 8 s. Hallar su aceleración y desplazamiento durante ese tiempo. a = 0,59

Más detalles

03 ENERGÍA ALGUNOS COMENTARIOS Y CUESTIONES

03 ENERGÍA ALGUNOS COMENTARIOS Y CUESTIONES 03 ENERGÍA ALGUNOS COMENTARIOS Y CUESTIONES Feynman: Es importante darse cuenta que en la física actual no sabemos lo que la energía es 03.0 Le debe interesar al óptico la energía? 03.1 Fuerza por distancia.

Más detalles

La ventana de Microsoft Excel

La ventana de Microsoft Excel Actividad N 1 Conceptos básicos de Planilla de Cálculo La ventana del Microsoft Excel y sus partes. Movimiento del cursor. Tipos de datos. Metodología de trabajo con planillas. La ventana de Microsoft

Más detalles

Recuerdas qué es? Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción.

Recuerdas qué es? Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción. Recuerdas qué es? Coordenadas de un punto Un punto del plano viene definido por un par ordenado de números. La primera coordenada es la abscisa del punto, la segunda coordenada es la ordenada del punto.

Más detalles

CINEMATICA 1. DETERMINACION DEL ESTADO DE REPOSO O MOVIMIENTO DE UN OBJETO

CINEMATICA 1. DETERMINACION DEL ESTADO DE REPOSO O MOVIMIENTO DE UN OBJETO CINEMATICA El objetivo de este tema es describir los movimientos utilizando un lenguaje científico preciso. En la primera actividad veremos qué magnitudes se necesitan introducir para lograr este objetivo.

Más detalles

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios

Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 81, noviembre de 01, páginas 5-3 Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios Félix Martínez de la Rosa (Universidad de Cádiz. España)

Más detalles

ESCUELA DE OTOÑO 2009 GPDM SAN CARLOS DE BARILOCHE

ESCUELA DE OTOÑO 2009 GPDM SAN CARLOS DE BARILOCHE ESCUELA DE OTOÑO 2009 GPDM SAN CARLOS DE BARILOCHE Escuela Woodville, 5º grado Docente observada: Ma. de los Ángeles Biedma (Nane) Docentes observadores: Azucena Riechert (Coordinadora) Teresa Antista

Más detalles

Energía mecánica y Caída Libre y lanzamiento vertical hacia arriba

Energía mecánica y Caída Libre y lanzamiento vertical hacia arriba Soluciones Energía mecánica y Caída Libre y lanzamiento vertical hacia arriba Si no se dice otra cosa, no debe considerarse el efecto del roce con el aire. 1.- Un objeto de masa m cae libremente de cierta

Más detalles

8 FUNCIONES: PROPIEDADES GLOBALES

8 FUNCIONES: PROPIEDADES GLOBALES 8 FUNCINES: PRPIEDADES GLBALES EJERCICIS PRPUESTS 8. Escribe las coordenadas de los puntos que aparecen en la figura. A D B C A( 3, 3) B(3, ) C(3, ) D( 3, 3) 8. Representa estos puntos en un eje de coordenadas.

Más detalles

TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13

TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13 TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13 EJERCICIOS DE TRABAJO Y ENERGÍA RESUELTOS: Ejemplo 1: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m. La fuerza necesaria

Más detalles

Movimiento Armónico Simple

Movimiento Armónico Simple Movimiento Armónico Simple Introducción al Movimiento Armónico Simple En esta página se pretende que el alumno observe la representación del Movimiento Armónico Simple (en lo que sigue M.A.S.), identificando

Más detalles

Curso de Preparación Universitaria: Física Guía de Problemas N o 6: Trabajo y Energía Cinética

Curso de Preparación Universitaria: Física Guía de Problemas N o 6: Trabajo y Energía Cinética Curso de Preparación Universitaria: Física Guía de Problemas N o 6: Trabajo y Energía Cinética Problema 1: Sobre un cuerpo que se desplaza 20 m está aplicada una fuerza constante, cuya intensidad es de

Más detalles

COLEGIO HISPANO-INGLÉS SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA SIMULACRO.

COLEGIO HISPANO-INGLÉS SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA SIMULACRO. COLEGIO HISPANO-INGLÉS SIMULACRO. SEMINARIO DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.- Las ecuaciones de la trayectoria (componentes cartesianas en función de t de la posición) de una partícula son x=t 2 +2; y = 2t 2-1;

Más detalles

Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones e Inecuaciones 5 Ecuaciones e Inecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Resolver ecuaciones bicuadradas y factorizadas. Identificar y resolver inecuaciones de

Más detalles

3. Una pelota se lanza desde el suelo hacia arriba. En un segundo llega hasta una altura de 25 m. Cuál será la máxima altura alcanzada?

3. Una pelota se lanza desde el suelo hacia arriba. En un segundo llega hasta una altura de 25 m. Cuál será la máxima altura alcanzada? Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato Caída libre y tiro horizontal 1. Desde un puente se tira hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 6 m/s. Calcula: a) Hasta qué altura se eleva la piedra;

Más detalles

Para revisarlos ponga cuidado en los paréntesis. No se confunda.

Para revisarlos ponga cuidado en los paréntesis. No se confunda. Ejercicios MRUA Para revisarlos ponga cuidado en los paréntesis. No se confunda. 1.- Un cuerpo se mueve, partiendo del reposo, con una aceleración constante de 8 m/s 2. Calcular: a) la velocidad que tiene

Más detalles

TEMA 1. Introducción y conceptos generales sobre la ciencia económica: Gráficas en Economía

TEMA 1. Introducción y conceptos generales sobre la ciencia económica: Gráficas en Economía TEMA 1 Introducción y conceptos generales sobre la ciencia económica: Gráficas en Economía Objetivos Hacer e interpretar gráficas de series de tiempo, gráficas de sección trasversal y diagramas de dispersión

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

Tema 1. Movimiento de una Partícula

Tema 1. Movimiento de una Partícula Tema 1. Movimiento de una Partícula CONTENIDOS Rapidez media, velocidad media, velocidad instantánea y velocidad constante. Velocidades relativas sobre una línea recta (paralelas y colineales) Movimiento

Más detalles

Números Enteros. 1º de ESO 1º ESO CAPÍTULO 6: NÚMEROS ENTEROS

Números Enteros. 1º de ESO 1º ESO CAPÍTULO 6: NÚMEROS ENTEROS 64 1º ESO CAPÍTULO 6: NÚMEROS ENTEROS Ilustraciones: Banco de imágenes del INTEF 65 Índice 1. NÚMEROS ENTEROS 1.1. NÚMEROS POSITIVOS, NEGATIVOS Y CERO 1.2. DONDE APARECEN LOS NÚMEROS NEGATIVOS 1.3. QUE

Más detalles
Sitemap