1. Magnitudes vectoriales


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1 FUNDACIÓN INSTITUTO A DISTANCIA EDUARDO CABALLERO CALDERON Espacio Académico: Física Docente: Mónica Bibiana Velasco Borda CICLO: V INICADORES DE LOGRO VECTORES 1. Adquiere la noción de magnitudes vectoriales y vectores. 2. Efectúa adición de vectores. 1. Magnitudes vectoriales Para describir el movimiento de un objeto, es necesario indicar la posición, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en diferentes instantes. Cuando el movimiento de un objeto se produce en el plano o en el espacio, estas magnitudes se expresan por medio de vectores Los vectores Algunas de las magnitudes que utilizamos para describir los fenómenos sólo requieren un número y una unidad para quedar definidas. Por ejemplo, para indicar la temperatura del cuerpo humano basta con escribir 37 C. En este caso, se requiere el número 37 y la unidad C. A estas magnitudes, como la masa, la densidad y el tiempo, entre otras, se les llama magnitudes escalares. Otras magnitudes no se pueden representar solamente con un número seguido de una unidad. Por ejemplo, para indicar la velocidad de un avión se debe conocer la rapidez con que se mueve, la cual se describe mediante un número y una unidad, pero también se necesita indicar la dirección del movimiento. Definición: Un vector es un segmento de línea dirigido cuya longitud es proporcional al valor numérico de la medida que representa. Las magnitudes vectoriales se representan por medio de vectores. La posición de un objeto con respecto a un punto es una magnitud vectorial. En la figura se ha trazado un vector A para indicar la posición del punto P con respecto al punto O. Todo vector tiene una norma y una dirección. La norma siempre es un número positivo que se expresa en las unidades de la magnitud que representa. Por ejemplo, la norma de la velocidad en el Sistema Internacional de Unidades, se expresa en m/s y corresponde a lo que hemos llamado rapidez. 1

2 La dirección de un vector está determinada por la dirección de la recta que lo contiene. Por ejemplo, la velocidad en un movimiento rectilíneo, coincide con la dirección de la recta sobre la cual se produce este movimiento. La dirección está representada por el ángulo que forma el vector con alguna dirección tomada como referencia. En la siguiente gráfica mostramos los elementos mencionados: La norma es la longitud del vector. La direccón es el ángulo que el vector forma con la parte positiva del eje x. vectores se denotan simbólicamente con una letra y una flecha sobre la letra. Por ejemplo, la aceleración a, la velocidad v, la posición r. La norma de un vector se representa con la misma letra pero sin flecha o entre barras. Por ejemplo, la norma del vector v, se representa por v o por v. Definición: Dos vectores son iguales, si al trasladar uno de ellos manteniendo, constante la norma y la dirección, se puede hacer coincidir con el otro El vector desplazamiento Consideremos que un cuerpo puntual describe una trayectoria y que este cuerpo en su recorrido pasa por los puntos P 1 y P 2 como se muestra en la gráfica. Las posiciones en los puntos P 1 y P 2 se representan por los vectores r 1 y r 2, respectivamente. Esta descripción significa que en el tiempo t: el móvil se encuentra en el punto P 2. ha recorrido una distancia a lo largo de la trayectoria descrita desde P 1 hasta P 2. se ha desplazado a partir de la posición inicial P 1 hasta P 2 según el vector d. Definición: Se llama vector desplazamiento d = r = r 2 r 1 desde P 1 hasta P 2, al vector que tiene su origen en la posición inicial P 1 y su punto final coincide con la posición final P 2 del móvil El vector velocidad Para el movimiento rectilíneo hemos definido la velocidad media adquirida por un objeto como v = x t. De manera análoga, como el desplazamiento en el plano se representa por el vector r, definimos la velocidad media como: v = r t La dirección del vector velocidad media coincide con la dirección del vector desplazamiento, ver figura. 2

3 Supongamos que un cuerpo se traslada desde el punto P hasta el punto P 1, en un intervalo de tiempo t 1 ; en este caso, el vector desplazamiento es d 1. Si tomamos intervalos de tiempo cada vez más cortos, los vectores desplazamiento se van ciñendo a la trayectoria. Como la velocidad tiene la misma dirección del desplazamiento, para intervalos de tiempo cada vez más cortos, la velocidad media se aproxima a la velocidad instantánea, cuya dirección es tangente a la trayectoria. El vector velocidad instantánea tiene las siguientes características: Norma. Medida de la velocidad, también llamada rapidez. Dirección. La dirección de la velocidad instantánea está determinada por la tangente a la trayectoria en cada punto. La flecha del vector indica la dirección en la cual se produce el movimiento. Para cada punto de la trayectoria, el vector velocidad instantánea se representa con origen en dicho punto. 2. Suma gráfica de vectores Es posible definir operaciones entre vectores. Para ilustrar el significado de la suma de dos vectores, supongamos que un objeto parte del punto O y se desplaza hasta el punto A ( d 1 ). Una vez se encuentra en el punto A, se desplaza hasta el punto B ( d 2 ). Para determinar el desplazamiento desde el punto O hasta el punto B, trazamos un vector con origen en el punto O y punto final en B. El vector con punto de partida en O y punto final en B es el vector suma d 1 + d 2. Para determinar gráficamente la suma de dos vectores se hace coincidir en el punto final de uno de ellos el origen del otro vector, como se muestra en la figura de la izquierda, sin cambiar ni la norma ni la dirección de cada uno; el vector suma se obtiene al unir el origen del primero con el punto final del segundo. 3

4 Es posible sumar dos vectores que tienen un origen común, por ejemplo, las fuerzas que actúan sobre un objeto. Para aplicar el método que hemos descrito, podemos construir un paralelogramo (ver figura). El vector suma es la diagonal del paralelogramo cuyo origen coincide con el de los dos vectores. A este procedimiento para obtener gráficamente la suma de dos vectores se le llama regla del paralelogramo. Ejemplo: Un avión viaja a 800km/h en ausencia de viento. En el caso de que hubiera viento que viaja a 100km/h en la misma dirección, a qué velocidad se mueve el avión con respecto a la Tierra? A qué velocidad se mueve el avión con respecto a la Tierra si el viento corre en contra de él? Solución: Cuando no corre viento, un avión se mueve con velocidad v a como muestra la figura. Si corre viento con velocidad v b, el movimiento del avión cambia de dirección. Determinar gráficamente la velocidad del avión con respecto a la Tierra cuando hay viento v, se resume a realizar la regla del paralelogramo: v = v a + v b luego, la velocidad del avión en auscencia del viento es v a = 800km/h y la velocidad del viento es de v b = 100km/h, así la velocidad del avión con respecto a la Tierra cuando estas velocidades son en la misma dirección es: v = 800km/h + 100km/h v = 900km/h Cuando las dos velocidades son en direcciones contrarias, la velocidad del avión con respecto a la Tierra se obtiene con la fórmula v = v a v b ; con lo que se obtiene que dicha velocidad es v = 700km/h. 4

5 3. TALLER El siguiente trabajo se entrega a mano el día 05 de Abril 2014: 1. Representa el vector velocidad resultante de forma gráfica en cada uno de los siguientes casos: a) Un atleta que cruza un río nadando hasta la otra orilla a 8m/s cuando el río corre con una velocidad perpendicular a él de 6m/s. b) Una golondrina que vuela horizontalmente a 6m/s mientras que el viento sopla a 2, 5m/s, formándose entre las dos velocidades un ángulo de La posición que ocupa un cuerpo en diferentes instantes del tiempo se representan por medio de vectores como se muestra en la siguiente tabla: a) Ubica cada vector en el plano cartesiano. b) Grafica una posible trayectoria del cuerpo. t = 0s r = ( 5, 0) t = 1s r = ( 3, 4) t = 2s r = (0, 5) t = 3s r = (3, 4) t = 3s r = (5, 0) 3. Un avión vuela una distancia de 620km, a una velocidad de 800km/h, con un viento de 65km/h. Determina el tiempo que emplea el avión en recorrer los 620km si vuela: a) con el viento a favor. b) con el viento en contra. 4. Determina cuál de los siguientes valores no puede representar la norma de un vector: a) 14m b) 0m c) 8m/s d) 250N 5. De las siguientes magnitudes cuál es escalar: a) El desplazamiento b) La velocidad c) El área d) La aceleración 4. BIBLIOGRAFÍA 1. Bautista M., Salazar F., Hipertexto Física 1, Santillana, (2011). 5

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